Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到﹣2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，

而0對(duì)應(yīng)點(diǎn)到﹣2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于1，

故不等式f（x）＞1解集為{x|x＞0}

（2）解：若關(guān)于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，

即|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，故|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|．

利用絕對(duì)值的意義可得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值為3+4=7，

∴|1﹣m|≤7，故﹣7≤m﹣1≤7，求得﹣6≤m≤8，

m的范圍為[﹣6，8]

【解析】（1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）＞1解集．（2）根據(jù)題意可得|x+2|﹣|x﹣1|+4≥|1﹣m|有解，即|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值大于或等于|1﹣m|，再利用絕對(duì)值的意義求得|x+2|﹣|x﹣1|+4 的最大值，從而求得m的范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的絕對(duì)值不等式的解法，需要了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能得出正確答案．