Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
（II）若在區(qū)間[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/62922.png' />，（2分）
當(dāng)a=1，，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以x=1時，f（x）的極小值為1．（5分）
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（6分）
（II）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/62922.png' />，且a≠0，
令f'（x）=0，得到，
若在區(qū)間[1，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要條件是f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）
（1）當(dāng)，
即a＜0時，f'（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
故f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，
由，得，即（9分）
（2）當(dāng)，即a＞0時，
①若，則f'（x）≤0對x∈[1，e]成立，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，
顯然，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）
②若，即時，則有

x
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，
由，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．（13分）
綜上，由（1）（2）可知：符合題意．（14分）
分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）若在區(qū)間（0，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值小于0即可．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間[1，e]上的最小值，先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值以及在閉區(qū)間上的最值問題．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想，同時考查學(xué)生的計(jì)算能力．