(本小題14分)如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)棱底面,為的中點(diǎn).
(1)求直線與所成角的余弦值;
(2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn),使平面,并分別求出點(diǎn)到和的距離.
解 方法一 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、
E(0,,1),從而=(,1,0),=(,0,-2).
設(shè)與的夾角為,則cos===,
∴AC與PB所成角的余弦值為……………………………………7分
(2)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi),故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0,z),則=(-x,,1-z),由NE⊥平面PAC可得
,即,化簡得,∴
即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0,1),
從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1,…………………14分
方法二 (1)設(shè)AC∩BD=O,
連接OE,AE,BD,則OE∥PB,
∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.
在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,
∴由余弦定理得cos∠EOA=,
即AC與PB所成角的余弦值為.
(2)在平面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F,則∠ADF=.連接PF,則在Rt△ADF中,DF==,AF=AD·tan∠ADF=.
設(shè)N為PF的中點(diǎn),連接NE,則NE∥DF.
∵DF⊥AC,DF⊥PA,
∴DF⊥平面PAC,從而NE⊥平面PAC.
∴N點(diǎn)到AB的距離為AP=1,N點(diǎn)到AP的距離為AF=.
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省肇慶市高三復(fù)習(xí)必修五綜合練習(xí) 題型:解答題
(本小題14分)如圖所示,L是海面上一條南北方向的海防警戒線,在L上點(diǎn)A處有一個水聲監(jiān)測點(diǎn),另兩個監(jiān)測點(diǎn)B,C分別在A的正東方20 km處和54 km處.某時刻,監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波,8s后監(jiān)測點(diǎn)A,20 s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號.在當(dāng)時氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是1. 5 km/s.
(1)設(shè)A到P的距離為 km,用分別表示B、C到P 的距離,并求值;
(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線L的距離(結(jié)果精確到0.01 km)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題14分)
如圖,已知的面積為14,、分別為邊、上的點(diǎn),且,與交于。設(shè)存在和使,,, 。
(1)求及
(2)用,表示
(3)求的面積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:寧波市2010屆高三三?荚囄目茢(shù)學(xué)試題 題型:解答題
(本小題14分)如圖,三棱錐中,平面,
,,分別是上
的動點(diǎn),且平面,二面角為.
(1)求證:平面;
(2)若,求直線與平面所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省揚(yáng)州市高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題 題型:解答題
(本小題14分)
如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)在邊上,。
(1)求證:平面;
(2)如果點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:平面 .
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