三棱錐P-ABC中,三角形PAB是等邊三角形,∠PAC=∠PBC=90°
(Ⅰ)證明:AB⊥PC
(Ⅱ)若三角形ABC是邊長為2
2
的正三角形,(1)求證:面PAC⊥面PBC;(2)求三棱錐P-ABC的體積.
分析:(I)利用△PAB是等邊三角形,證明AC=BC.取AB中點(diǎn)D,連接PD、CD,通過證明AB⊥平面PDC,然后證明AB⊥PC.
(II)(1)作BE⊥PC,垂足為E,連接AE,利用證得∠AEB=90°,結(jié)合平面垂直的定義即可得到面PAC⊥面PBC;(2)通過Rt△PBC≌Rt△PAC,Rt△AEB≌Rt△PEB,說明△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.然后求出三棱錐P-ABC的體積.
解答:解:(I)證明:因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形,
∠PAC=∠PBC=90°,
PC=PC
所以Rt△PBC≌Rt△PAC,
可得AC=BC.
如圖,取AB中點(diǎn)D,連接
PD、CD,
則PD⊥AB,CD⊥AB,
所以AB⊥平面PDC,
所以AB⊥PC.
(II)(1)作BE⊥PC,垂足為E,連接AE.
因?yàn)镽t△PBC≌Rt△PAC,
所以AE⊥PC,AE=BE.
在三角形ABE中,由已知,得BE=AE=2,AB=2
2
,
故∠AEB=90°.
從而,平面PAC⊥平面PBC,
(2)因?yàn)镽t△AEB≌Rt△PEB,
所以△AEB,△PEB,△CEB都是等腰直角三角形.
由已知得PC=4,AE=BE=2,
△AEB的面積S=2.
因?yàn)镻C⊥平面AEB,
所以三棱錐P-ABC的體積:
V=
1
3
×S×PC=
8
3
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,△PAB是等邊三角形,∠PAC=∠PBC=90°.
(1)證明:AB⊥PC;
(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱錐P-ABC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=
π2
,PA=2,AB=AC=4,點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB、AC的中點(diǎn).
(I)求證:EF⊥平面PAD;
(II)求點(diǎn)A到平面PEF的距離;
(III)求二面角E-PF-A的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)當(dāng)k=
12
時(shí),求直線PA與平面PBC所成角的大小;
(Ⅱ)當(dāng)k取何值時(shí),O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,△ABC為正三角形,D、E、F分別是BC,PB,CA的中點(diǎn).
(1)證明平面PBF⊥平面PAC;
(2)判斷AE是否平行于平面PFD,并說明理由;
(3)若PC=AB=2,求三棱錐P-DEF的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正三棱錐P-ABC中,M,N分別是PB,PC的中點(diǎn),若截面AMN⊥側(cè)面PBC,則此棱錐截面與底面所成的二面角正弦值是
6
6
6
6

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