Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D、E、F分別是BC，PB，CA的中點(diǎn)．
（1）證明平面PBF⊥平面PAC；
（2）判斷AE是否平行于平面PFD，并說(shuō)明理由；
（3）若PC=AB=2，求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)PC⊥平面ABC，BF?平面ABC得到PC⊥BF；再結(jié)合BF⊥AC即可得到BF⊥平面PAC，進(jìn)而證明結(jié)論；
（2）先假設(shè)AE∥平面PFD，借助于假設(shè)證得平面ABE∥平面PFD，與P∈平面PFD，P∈平面ABE相矛盾，即可說(shuō)明結(jié)論；
（3）直接根據(jù)D，E，F(xiàn)分別為BC，PB，CA的中點(diǎn)，把所求體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；轉(zhuǎn)化為

1

2

V_P-BDF即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF?平面ABC．
∴PC⊥BF．由條件得BF⊥AC，PC∩AC=C．
∴BF⊥平面PAC，BF?平面PBF，
∴平面PBF⊥平面PAC．
（2）：AE不平行于平面PFD．
反證法：假設(shè)AE∥平面PFD，
∵AB∥FD，F(xiàn)D?平面PFD．
∴AB∥平面PFD．
∵AE∩AB=A，
∴平面ABE∥平面PFD．
∵P∈平面PFD，P∈平面ABE．矛盾．
則假設(shè)不成立，
所以：AE不平行于平面PFD
（3）∵D，E，F(xiàn)分別為BC，PB，CA的中點(diǎn)．
∴V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC=V_E-BDF
=

1

2

V_P-BDF
=

1

2

×

1

3

×S_△BDF•PC
=

1

2

×

1

3

×

1

4

S_△ABC•PC
=

1

2

×

1

3

×

1

4

×

1

2

×2×2×

3

2

×2
=

3

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面與平面垂直的判定以及棱錐體積的求法．棱錐體積的求法常用轉(zhuǎn)化思想，變?yōu)橐浊蟮膸缀误w的體積，考查計(jì)算能力．