【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論方程的實數(shù)根的情況.

【答案】（1）（2）當時，方程有兩個實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根.

【解析】試題分析: (1)求出,利用兩直線垂直,求出 的值; (2)設 ，利用單調性求出, 分類討論: ,得出結果.

試題解析:（1）依題意，得，

所以，

又由曲線在點處的切線與直線垂直，可得，

所以，解得；

（2）方程，即.

當時，得，解得，

當時，解得.但是，即，所以時，方程無實數(shù)根.

令，則，

故當時， 是單調遞增函數(shù)；當時， 是單調遞減函數(shù)，

所以.

當時，由，得.

又，令，則在區(qū)間上，故為增函數(shù)，所以，即，所以.

，故當時，方程有兩個實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根.

點睛: 本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)零點的個數(shù),屬于中檔題.

【一題多解】在(2)中,由有,轉化為函數(shù)與圖象交點的個數(shù),當與相切時,切點為,又,所以此時無零點;由圖象知,當時圖象有兩個交點,即有兩個零點, ,圖象沒有交點,無零點,綜上討論,得出結論: 有兩個實數(shù)根, 無實數(shù)根.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】編號為A，B，C，D，E的5個小球放在如圖所示的5個盒子里，要求每個盒子只能放1個小球，且A球不能放在1，2號盒子里，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，求不同的放法有多少種？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓相交于兩點，與軸， 軸分別相交于點和點，且，點是點關于軸的對稱點， 的延長線交橢圓于點，過點分別做軸的垂線，垂足分別為.

（1） 若橢圓的左、右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上，求橢圓的方程；

（2）當時，若點平分線段，求橢圓的離心率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某土特產銷售總公司為了解其經(jīng)營狀況，調查了其下屬各分公司月銷售額和利潤，得到數(shù)據(jù)如下表：

分公司名稱

雅雨

雅魚

雅女

雅竹

雅茶

月銷售額（萬元）

3

5

6

7

9

月利潤額（萬元）

2

3

3

4

5

在統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)月銷售額和月利潤額具有線性相關關系.

（1）根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù)，求月利潤額與月銷售額之間的線性回歸方程；

（2）若該總公司還有一個分公司“雅果”月銷售額為10萬元，試估計它的月利潤額是多少？

（參考公式： ， ，其中： ， ）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）當，時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，斜率為的直線與橢圓交于， 兩點，點在直線的左上方.若，且直線， 分別與軸交于， 點，求線段的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四邊形和均為平行四邊形，點在平面內的射影恰好為點，以為直徑的圓經(jīng)過點， ， 的中點為， 的中點為，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求幾何體的體積．　

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份

2006

2008

2010

2012

2014

需求量(萬噸)

236

246

257

276

286

(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸方程＝x＋；

(2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地2018年的糧食需求量．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；

（2）探究是否存在實數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，解不等式.

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