Question

如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，且

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知是過(guò)三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值。

 

 

Answer 1

（1）；（2）4.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先通過(guò)對(duì)稱性得到B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式得的3個(gè)邊長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)出離心率e的值；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)知是邊長(zhǎng)為a的正三角形，利用三角形面積，得到a的值，從而得到b和c的值，由于，所以圓是以為圓心，為半徑，則可直接寫出圓的方程，因?yàn)辄c(diǎn)p到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑，所以利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.

試題解析：（1）

由及勾股定理可知，即

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719362781722532/SYS201411171936459429290282_DA/SYS201411171936459429290282_DA.011.png">，所以，解得

（2）由（1）可知是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以

解得

由可知直角三角形的外接圓以為圓心，半徑

即點(diǎn)在圓上，

因?yàn)閳A心到直線的距離為

故該圓與直線相切，所以點(diǎn)到直線的最大距離為

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系.