Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）令（0＜x≤3），以其圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，方程mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a(bǔ)=2代入函數(shù)，對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出其極值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)來(lái)求最值；
（2）對(duì)F（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求過(guò)點(diǎn)P（x，y）的切線，求出k用x0的表達(dá)出來(lái)，再根據(jù)斜率恒成立，從而求出a的范圍；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，令g（x）=x²-mx-mlnx，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)畫出函數(shù)的草圖，從而來(lái)求解；
解答：解（1）a=2時(shí)，f（x）=lnx+x-x²，…（1分），
解f′（x）=0得x=1或（舍去）…（2分），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增加，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減少…（3分），
所以f（x）的最大值為f（1）=0…（4分）
（2）（0＜x≤3），（0＜x≤3）…（6分）
由恒成立得恒成立…（7分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231537910219315/SYS201311012315379102193020_DA/8.png">，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立…（8分），
所以…（9分）
（3）a=0時(shí)，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，
設(shè)g（x）=x²-mx-mlnx，
解…（10分），得（＜0舍去），，
類似（1）的討論知，g（x）在x∈（0，x₂）單調(diào)增加，
在x∈（x₂，+∞）單調(diào)減少，最大值為g（x₂）…（11分），
因?yàn)閙f（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，g（x）有唯一零點(diǎn)，所以g（x₂）=0…（12分），
由得x₂+2lnx₂-1=0，
因?yàn)閔（x）=x+lnx-1單調(diào)遞增，且h（1）=0，
所以x₂=1…（13分），
從而m=1…（14分）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的切線，最值和函數(shù)的單調(diào)性，是高考必考的一類題，此題是一道中檔題．