Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當(dāng)x∈R時，f（x）的最小值為0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；
②當(dāng)x∈（0，5）時，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（I）求f（1）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求最大的實(shí)數(shù)m（m＞1），使得存在實(shí)數(shù)t，只要當(dāng)x∈[1，m]時，就有f（x+t）≤x成立．

Answer 1

分析：（1）由當(dāng)x∈（0，5）時，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立可得f（1）=1；
（2）由f（-1+x）=f（-1-x）可得二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=-1，于是b=2a，再由f（x）_min=f（-1）=0，可得c=a，從而可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（3）可由f（1+t）≤1，求得：-4≤t≤0，再利用平移的知識求得最大的實(shí)數(shù)m．

解答：解：（1）∵x∈（0，5）時，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1-1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（-1+x）=f（-1-x），
∴f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=-1，
∴-

b

2a

=-1，b=2a．
∵當(dāng)x∈R時，函數(shù)的最小值為0，
∴a＞0，f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=-1，
∴f（x）_min=f（-1）=0，
∴a=c．
∴f（x）=ax²+2ax+a．又f（1）=1，
∴a=c=

1

4

，b=

1

2

．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²．
（3）∵當(dāng)x∈[1，m]時，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即

1

4

（1+t+1）²≤1，解得：-4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x-（-t）]是函數(shù)y=f（x）向右平移（-t）個單位得到的，
顯然，f（x）向右平移的越多，直線y=x與二次曲線y=f（x+t）的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，
∴當(dāng)t=-4，-t=4時直線y=x與二次曲線y=f（x+t）的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)最大．
∴

1

4

（m+1-4）²≤m，
∴1≤m≤9，
∴m_max=9．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）中m的確定，著重考查二次函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的平移，屬于難題．