Question

【題目】在五面體中， , , ，平面平面.

(1)證明:直線平面；

(2)已知為棱上的點(diǎn)，試確定點(diǎn)位置，使二面角的大小為.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)在靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處.

【解析】試題分析：（1）證明一條直線垂直一個(gè)平面，只需要證明這兩個(gè)平面垂直，直線垂直兩個(gè)平面的交線即可，先證明， 平面平面，平面平面，即可得到直線平面；（2）根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，證明兩兩垂直，以為原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由二面角的大小為，根據(jù)空間向量夾角余弦公式列方程即可確定在棱上的位置.

試題解析：（1）四邊形為菱形， ， 平面平面，平面平面平面，又直線平面.

(2) ， 為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則， 平面平面平面，平面平面平面兩兩垂直，以為原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ， ，由（1）知是平面的法向量， ，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為， ，令，則， ， 二面角為， ，解得， 在靠近點(diǎn)的三等分處.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.