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【題目】已知函數,其中為自然對數的底數.

(Ⅰ)討論函數的單調性及極值;

(Ⅱ)若不等式內恒成立,求證:.

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)函數求導得,討論演技單調性及極值即可;

(2)當時,內單調遞增,可知內不恒成立,當時, ,即,所以.令,進而通過求導即可得最值.

試題解析:

(1)由題意得.

,即時,,內單調遞增,沒有極值.

,即,

,得,

時,,單調遞減;

時,,單調遞增,

故當時,取得最小值,無極大值.

綜上所述,當時,內單調遞增,沒有極值;

時,在區(qū)間內單調遞減,在區(qū)間內單調遞增,的極小值為,無極大值.

(2)由(1),知當時,內單調遞增,

時,成立.

時,令中較小的數,

所以,且.

,.

所以,

恒成立矛盾,應舍去.

時, ,

,

所以.

,

.

,得,

,得,

在區(qū)間內單調遞增,

在區(qū)間內單調遞減.

,

即當時,.

所以.

所以.

,

所以.

練習冊系列答案
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