Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，，且M是BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一點(diǎn)P，使得∠CPD最大？若存在，請(qǐng)求出∠CPD的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)N，連接MN，NF．
在△DAB中，M是BD的中點(diǎn)，N是AD的中點(diǎn)，
∴MN∥AB，MN=．
又∵EF∥AB，EF=，∴MN∥EF且MN=EF，∠CPD最大
∴四邊形MNFE為平行四邊形，可得EM∥FN．
又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，
∴EM∥平面ADF．…（6分）
（Ⅱ）假設(shè)在EB上存在一點(diǎn)P，使得∠CPD最大．
∵EB⊥平面ABD，CD⊆平面ABD，∴EB⊥CD．
又∵CD⊥BD，EB∩BD=B，∴CD⊥平面EBD．…（8分）
在Rt△CPD中，．
∵CD為定值，且∠CPD為銳角，
∴要使∠CPD最大，只要DP最小即可．顯然，當(dāng)DP⊥EB時(shí)，DP最�。�
因此DB⊥EB，所以當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，使得∠CPD最大．…（11分）
Rt△PCD中，=．
所以在EB上存在一點(diǎn)P，使得∠CPD最大，且∠CPD的正切值為．…（13分）
分析：（I）取AD的中點(diǎn)N，連接MN，NF．利用三角形中位線(xiàn)定理，結(jié)合已知條件證出四邊形MNFE為平行四邊形，可得EM∥FN，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理，得到EM∥平面ADF．
（II）假設(shè)在EB上存在一點(diǎn)P，使得∠CPD最大．由線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，證出CD⊥平面EBD．可得Rt△CPD中，當(dāng)DP的長(zhǎng)最短時(shí)∠CPD最大，此時(shí)P與重合時(shí)，由直角三角形三角函數(shù)的定義，可得∠CPD的正切值．
點(diǎn)評(píng)：本題在特殊多面體中，求證線(xiàn)面平行并探索兩直線(xiàn)所成角的最大值，著重考查了線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)、線(xiàn)面平行的判定和直角三角形中三角函數(shù)定義等知識(shí)，屬于中檔題．