【題目】已知四棱錐P﹣ABCD及其三視圖如下圖所示,E是側棱PC上的動點.
(Ⅰ)求四棱錐P﹣ABCD的體積;
(Ⅱ)不論點E在何位置,是否都有BD⊥AE?試證明你的結論;
(Ⅲ)若點E為PC的中點,求二面角D﹣AE﹣B的大。
【答案】解:(I)由三視圖知PC⊥面ABCD,
ABCD為正方形,且PC=2,AB=BC=1,
∴ .
(II)不論點E在何位置,都有BD⊥AE.
證明如下:
∵PC⊥面ABCD,BD面ABCD,∴PC⊥BD
而BD⊥AC,AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE,
而AE面ACE,
∴BD⊥AE.
(III)連接AC,交BD于O.
由對稱性,二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍,
設θ為二面角O﹣AE﹣B的平面角.
注意到B在面ACE上的射影為O,
,
,
∴ ,
∴θ=60°∴二面角D﹣AE﹣B是120°.
【解析】(I)由三視圖知PC⊥面ABCD,ABCD為正方形,且PC=2,AB=BC=1,由此能求出四棱錐P﹣ABCD的體積.(II)不論點E在何位置,都有BD⊥AE.由已知得PC⊥BD,從而BD⊥面ACE,由此能證明BD⊥AE.(III)連接AC,交BD于O.由對稱性,二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍,設θ為二面角O﹣AE﹣B的平面角.注意到B在面ACE上的射影為O,由 ,能求出二面角D﹣AE﹣B的大。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某產品共有100件,其中一、二、三、四等品的個數(shù)比為4:3:2:1,采用分層抽樣的方法抽取一個樣本,若從一等品中抽取8件,從三等品和四等品中抽取的個數(shù)分別為a,b,則直線ax+by+8=0上的點到原點的最短距離為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}中,已知a1=1, ,
(1)求證數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)若對一切n∈N* , 等式a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n恒成立,求數(shù)列{bn}的通項公式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】暑假期間小輝計劃在8月11日至8月20日期間調研某商業(yè)中心周邊停車場停車狀況,根據(jù)停車場統(tǒng)計數(shù)據(jù),該停車場在此期間“停車難易度”(即停車數(shù)量與核定的最大瞬時容量之比,40%以下為較易,40%~60%為一般,60%以上為較難),情況如圖所示,小輝隨機選擇8月11日至8月19日中的某一天達到該商業(yè)中心,并連續(xù)調研2天.
(Ⅰ)求小輝連續(xù)兩天都遇上停車場較難的概率;
(Ⅱ)設是小輝調研期間遇上停車較易的天數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅲ)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天停車難易度的方差最大?(結論不要求證明)
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x>0,A>0)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)寫出函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間
(3)設不相等的實數(shù),x1 , x2∈(0,π),且f(x1)=f(x2)=﹣2,求x1+x2的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.
(Ⅰ)求實數(shù)、的值;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)曲線上存在兩點、,使得是以坐標原點為直角頂點的直角三角形,且斜邊的中點在軸上,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率 ,左右焦點分別為 是橢圓在第一象限上的一個動點,圓 與 的延長線, 的延長線以及線段 都相切, 為一個切點.
(1)求橢圓方程;
(2)設 ,過 且不垂直于坐標軸的動點直線 交橢圓于 兩點,若以 為鄰邊的平行四邊形是菱形,求直線的方程.
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