Question

如圖，在邊長(zhǎng)為2 （單位：m）的正方形鐵皮的四周切去四個(gè)全等的等腰三角形，再把它的四個(gè)角沿著虛線折起，做成一個(gè)正四棱錐的模型．設(shè)切去的等腰三角形的高為x m．
（1）求正四棱錐的體積V（x）；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，正四棱錐的體積V（x）取得最大值？

Answer 1

（本題滿分10分）
解 （1）設(shè)正四棱錐的底面中心為O，一側(cè)棱為AN．則
由于切去的是等腰三角形，所以AN=，NO=1-x，…（2分）
在直角三角形AON中，AO===，…（4分）
所以V（x）=••[2（1-x）]²•=（1-x）²，（0＜x＜1）． …（6分）
（不寫0＜x＜1扣1分）
（2）V′（x）=[（2x-2）+]=（x-1），…（8分）
令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=．
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，V′（x）＞0，所以V（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（，1）時(shí)，V′（x）＜0，所以V（x）為減函數(shù)．
所以函數(shù)V（x）在x=時(shí)取得極大值，此時(shí)為V（x）最大值．
答：當(dāng)x為m時(shí)，正四棱錐的體積V（x）取得最大值． …（10分）
說(shuō)明：按評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分，不寫函數(shù)的定義域扣（1分），沒(méi)有答扣（1分）．
分析：（1）由題意求出棱錐的底面面積以及棱錐的高，即可求正四棱錐的體積V（x）；
（2）通過(guò)（1）棱錐的體積的表達(dá)式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，說(shuō)明是函數(shù)的最大值點(diǎn)，即可求解當(dāng)x為何值時(shí)，正四棱錐的體積V（x）取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題以折疊圖形為依托，考查空間幾何體的體積的求法，通過(guò)函數(shù)的對(duì)數(shù)求法函數(shù)的值的方法，考查空間想象能力與計(jì)算能力；解題中注意函數(shù)的定義域，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．