Question

如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，E，F(xiàn)是PA和AB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）若PC=2，求PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）欲證EF∥平面PBC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PBC內(nèi)一直線平行，而EF∥PB，又EF?平面PBC，PB?平面PBC，滿足定理所需條件；
（II）過A作AH⊥BC于H，連接PH，則∠APH為PA與平面PBC所成的角，利用sin∠APH=

AH

PA

，可得結(jié)論．

解答：（I）證明：∵E，F(xiàn)是PA和AB的中點，
∴AE=PE，AF=BF，
∴EF∥PB
又EF?平面PBC，PB?平面PBC，
故EF∥平面PBC；
（II）解：過A作AH⊥BC于H，連接PH
∵PC⊥面ABCD，AH?面ABCD，
∴PC⊥AH
∵PC∩BC=C
∴AH⊥平面PBC
∴∠APH為PA與平面PBC所成的角
∵邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形
∵AH⊥BC
∴H為BC的中點，AH=

3

∵PC=AC=2，∴PA=2

2

∴sin∠APH=

AH

PA

=

6

4

∴PA與平面PBC所成角的正弦值為

6

4

．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．