Question

【題目】已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.

（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S不是整數(shù)．

【解析】

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程；

（2）先求解弦長，再分別求解點(diǎn)到直線的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.

（1）設(shè)，則，

拋物線C的方程可化為，則，

所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為，

在點(diǎn)B處的切線方程為，

因?yàn)閮汕芯�均過點(diǎn)G，所以，

所以A，B兩點(diǎn)均在直線上，所以直線AB的方程為，

又因?yàn)橹本�AB過點(diǎn)F(0，p)，所以，即G點(diǎn)軌跡方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，

即，

將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，，整理得，

所以，，解得，

因?yàn)橹本�AB的斜率，所以，

且，

線段AB的中點(diǎn)為M，

所以直線EM的方程為：，

所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，

直線AB的方程整理得，

則G到AB的距離，

則E到AB的距離，

所以，

設(shè)，因?yàn)?/span>p是質(zhì)數(shù)，且為整數(shù)，所以或，

當(dāng)時，，是無理數(shù)，不符題意，

當(dāng)時，，

因?yàn)楫?dāng)時，，即是無理數(shù)，所以不符題意，

當(dāng)時，是無理數(shù)，不符題意，

綜上，當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S不是整數(shù)．