Question

設(shè)函數(shù)，
（Ⅰ）若f（x）在x=1處有極值，求a；
（Ⅱ）若f（x）在[2，3]上為增函數(shù)，求a的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，由已知f'（1）=3a-3=0，從而求得a=1．再經(jīng)驗(yàn)證得a=1符合題意；
（Ⅱ）對(duì)x∈[2，3]恒成立，分離參數(shù)得，對(duì)x∈[2，3]恒成立，可求的最大值為，從而得解
（Ⅲ）當(dāng)a=-1，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則由知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為，由于x＞0時(shí)， 故k₁•k₂＞0，從而矛盾，故得解．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
又，
 由已知f'（1）=3a-3=0，
∴a=1．經(jīng)驗(yàn)證得a=1符合題意----4分
  （Ⅱ）
對(duì)x∈[2，3]恒成立，
∴，
對(duì)x∈[2，3]恒成立，
因?yàn)閤∈[2，3]，所以的最大值為，
所以；-----------------9分
（Ⅲ）當(dāng)a=-1，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)、（x₁＜1，x₂＜1，x₁≠x₂）使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則由知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為，，
則k₁•k₂=-1＜0（*）      
∵當(dāng)x＞0時(shí)， 
故k₁•k₂＞0與（*）式矛盾，故假設(shè)不成立，
∴當(dāng)a=-1
時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立； …13分
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問(wèn)題，考查存在性問(wèn)題，關(guān)鍵是正確運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)．