Question

設數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，且S_n+a_n=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=

3bn-1

bn-1+3

，n≥2．求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）（理）設c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n和T_n．
（文）設c_n=

n

an

，求數(shù)列{c_n}的前n和E_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關系構造等比數(shù)列即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)遞推關系構造等差數(shù)列即可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）利用錯位相減法即可求出數(shù)列的和．

解答： 解：（1）由S_n+a_n=2，得S_n+1+a_n+1=2，兩式相減，得2a_n+1=a_n，
∴

an+1

an

=

1

2

（常數(shù)），
故{a_n}是公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
又n=1時，S₁+a₁=2．解得a₁=1，
∴a_n=

1

2n-1

．
（2）由b₁=a₁=1，且n≥2時，b_n=

3bn-1

bn-1+3

，得b_nb_n-1+b_n=3b_n-1，
即

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

，
∴{

1

bn

}是以1為首項，

1

3

為公差的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=1+

n-1

3

=

n+2

3

，
故b_n=

3

n+2

．
（3）理：c_n=

an

bn

=

n+2

3

•

1

2n-1

，
則T_n=

1

3

[3•(

1

2

)⁰+4•(

1

2

)¹+5•（

1

2

）²+…+（n+2）•（

1

2

）^n-1]，

1

2

T_n=

1

3

[3•(

1

2

)¹+4•（

1

2

）²+…+（n+1）•（

1

2

）^n-1+（n+2）•（

1

2

）ⁿ]，
以上兩式相減得，

1

2

T_n=

1

3

[3+（

1

2

）¹+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-（n+2）•（

1

2

）ⁿ]=

1

3

[3+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+2）•（

1

2

）ⁿ]=

1

3

[4-（

1

2

）^n-1-（n+2）•（

1

2

）ⁿ]，
故T_n=

8

3

-

n+4

3•2n-1

，）
文：c_n=

n

an

=n•2^n-1，
則E_n=1+2•2¹+3•2²…+n•2^n-1，
2E_n=2¹+2•2²+3•2³…+n•2ⁿ，
以上兩式相減得，
-E_n=1+2¹+2²+2³…2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ（1-n）-1，
故E_n=1+2ⁿ（n-1）．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應用，利用數(shù)列的遞推關系構造等比數(shù)列和等差數(shù)列是解決本題的關鍵．要求數(shù)列掌握利用錯位相減法求和的技巧，運算量較大，比較復雜．