Question

（2009•長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知向量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），

n

=（1，2cosx），設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（1）求函數(shù) f（x）的最小正周期及x∈[0，

π

2

]時(shí)的最大值；
（2）把函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，求φ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，將式子f(x)=

m

•

n

用坐標(biāo)展開(kāi)得：f(x)=

3

sin2x-1+2cos2x，利用降冪公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)合并為2sin(2x+

π

6

)，最后利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)得到函數(shù)的最小正周期和最大值；
（2）向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位，得到y=2sin(2(x+φ)+

π

6

)的圖象，所得函數(shù)為奇函數(shù)，利用f（0）=0，可得φ的最小值．

解答：解：
（1）f(x)=

3

sin2x-1+2cos2x（2分）
=2sin(2x+

π

6

)．              （3分）
最小正周期為T=

2π

2

=π．    （5分）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
因此當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)f_max=2．（8分）
（2）圖象平移后解析式為y=2sin(2(x+φ)+

π

6

)
y=2sin(2x+2?+

π

6

)為奇函數(shù)，（11分）
∴f（0）=0，即2?+

π

6

=kπ，(k∈Z)（14分）
∵φ＞0，
∴k=1時(shí)φ最小值為

5π

12

．                       （16分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，著重考查了向量的數(shù)量積公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．熟練運(yùn)用三角函數(shù)的降冪公式和輔助角公式，熟悉函數(shù)Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，是解決好本題的關(guān)鍵．