我們把數(shù)列{ank}叫做數(shù)列{an}的k方數(shù)列(其中an>0,k,n是正整數(shù)),S(k,n)表示k方數(shù)列的前n項和.
(Ⅰ)試比較S(1,2)•S(3,2)與[S(2,2)]2的大;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足:[S(1,n)]2=S(3,n),求數(shù)列{an}的通項公式.
分析:(Ⅰ)根據(jù)題中的新定義分別表示出S(1,2),S(3,2)與S(2,2),進而表示出S(1,2)•S(3,2)與[S(2,2)]2的差,根據(jù)an>0,判斷差為非負數(shù),即可比較出所求兩式的大小;
(Ⅱ)根據(jù)原題的新定義分別表示出S(1,n)及S(3,n),代入已知的等式,再利用等差數(shù)列的求和公式化簡等式左邊的底數(shù),得到Sn2=a13+a23+…+an3,當n大于等于2時,得到Sn-12=a13+a23+…+an-13,兩式相減后,左邊利用平方差公式分解因式,再根據(jù)Sn-Sn-1=an進行變形,求出Sn+Sn-1的值,進而當n大于等于3時,兩式相減,再根據(jù)Sn-Sn-1=an進形變形,進而求出an-an-1的值及a1的值,確定出數(shù)列{an}為等差數(shù)列,根據(jù)確定出的公差及首項寫出通項公式即可.
解答:解:(Ⅰ)依條件知:
S(1,2)=a1+a2,S(3,2)=a13+a23,S(2,2)=a12+a22.(3分)
∴S(1,2)•S(3,2)-[S(2,2)]2
=(a1+a2)(a13+a23)-(a12+a222
=a1a23+a2a13-2a12a22
=a1a2(a1-a22,
∵an>0,
∴S(1,2)•S(3,2)≥[S(2,2)]2;(6分)
(Ⅱ)由[S(1,n)]2=S(3,n)得:
(a1+a2+…+an2=a13+a23+…+an3.n∈N*.(7分)
S
2
n
=
a
3
1
+
a
3
2
+…+
a
3
n
S
2
n-1
=
a
3
1
+…+
a
3
n-1
,n≥2
⇒(Sn+Sn-1)•an=
a
3
n
,n≥2
.又an>0.
∴Sn+Sn-1=an2,n≥2.
則Sn-1+Sn-2=an-12,n≥3,
將兩式相減得:an+an-1=an2-an-12,n≥3,又an+an-1>0,
∴an-an-1=1,n≥3.(11分)又a12=a13且a1≠0,
∴a1=1.(a2+1)2=a23+1且a2>0,
∴a2=2,即a2-a1=1.
∴n≥2時均有an-an-1=1.
∴數(shù)列{an}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
故an=1+(n-1)×1=n.(13分)
點評:此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項公式及求和公式,以及數(shù)列的函數(shù)特征,屬于新定義型題,解答此類題要求學生認真審題,弄清題中的新定義,進而利用等差數(shù)列的性質(zhì)、求和公式及遞推公式Sn-Sn-1=an進行變形來解決問題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

我們把數(shù)列{ank}叫做數(shù)列{an}的k方數(shù)列(其中an>0,k,n是正整數(shù)),S(k,n)表示k方數(shù)列的前n項的和.
(1)比較S(1,2)•S(3,2)與[S(2,2)]2的大。
(2)若數(shù)列{an}的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列,a1=a,求數(shù)列{an}的k方數(shù)列通項公式.
(3)對于常數(shù)數(shù)列an=1,具有關于S(k,n)的恒等式如:S(1,n)=S(2,n),S(2,n)=S(3,n)等等,請你對數(shù)列{an}的k方數(shù)列進行研究,寫出一個不是常數(shù)數(shù)列{an}的k方數(shù)列關于S(k,n)的恒等式,并給出證明過程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

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(2)若數(shù)列{an}的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列,a1=a,求數(shù)列{an}的k方數(shù)列通項公式.
(3)對于常數(shù)數(shù)列an=1,具有關于S(k,n)的恒等式如:S(1,n)=S(2,n),S(2,n)=S(3,n)等等,請你對數(shù)列{an}的k方數(shù)列進行研究,寫出一個不是常數(shù)數(shù)列{an}的k方數(shù)列關于S(k,n)的恒等式,并給出證明過程.

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(1)比較S(1,2)•S(3,2)與[S(2,2)]2的大;
(2)若數(shù)列{an}的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列,a1=a,求數(shù)列{an}的k方數(shù)列通項公式.
(3)對于常數(shù)數(shù)列an=1,具有關于S(k,n)的恒等式如:S(1,n)=S(2,n),S(2,n)=S(3,n)等等,請你對數(shù)列{an}的k方數(shù)列進行研究,寫出一個不是常數(shù)數(shù)列{an}的k方數(shù)列關于S(k,n)的恒等式,并給出證明過程.

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科目:高中數(shù)學 來源:2008-2009學年湖北省孝感高中高三(上)9月月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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