我們把數(shù)列{ank}叫做數(shù)列{an}的k方數(shù)列(其中an>0,k,n是正整數(shù)),S(k,n)表示k方數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(Ⅰ)試比較S(1,2)•S(3,2)與[S(2,2)]2的大;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足:[S(1,n)]2=S(3,n),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【答案】
分析:(Ⅰ)根據(jù)題中的新定義分別表示出S(1,2),S(3,2)與S(2,2),進(jìn)而表示出S(1,2)•S(3,2)與[S(2,2)]
2的差,根據(jù)a
n>0,判斷差為非負(fù)數(shù),即可比較出所求兩式的大;
(Ⅱ)根據(jù)原題的新定義分別表示出S(1,n)及S(3,n),代入已知的等式,再利用等差數(shù)列的求和公式化簡等式左邊的底數(shù),得到S
n2=a
13+a
23+…+a
n3,當(dāng)n大于等于2時(shí),得到S
n-12=a
13+a
23+…+a
n-13,兩式相減后,左邊利用平方差公式分解因式,再根據(jù)S
n-S
n-1=a
n進(jìn)行變形,求出S
n+S
n-1的值,進(jìn)而當(dāng)n大于等于3時(shí),兩式相減,再根據(jù)S
n-S
n-1=a
n進(jìn)形變形,進(jìn)而求出a
n-a
n-1的值及a
1的值,確定出數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列,根據(jù)確定出的公差及首項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式即可.
解答:解:(Ⅰ)依條件知:
S(1,2)=a
1+a
2,S(3,2)=a
13+a
23,S(2,2)=a
12+a
22.(3分)
∴S(1,2)•S(3,2)-[S(2,2)]
2
=(a
1+a
2)(a
13+a
23)-(a
12+a
22)
2=a
1a
23+a
2a
13-2a
12a
22=a
1a
2(a
1-a
2)
2,
∵a
n>0,
∴S(1,2)•S(3,2)≥[S(2,2)]
2;(6分)
(Ⅱ)由[S(1,n)]
2=S(3,n)得:
(a
1+a
2+…+a
n)
2=a
13+a
23+…+a
n3.n∈N
*.(7分)
.又a
n>0.
∴S
n+S
n-1=a
n2,n≥2.
則S
n-1+S
n-2=a
n-12,n≥3,
將兩式相減得:a
n+a
n-1=a
n2-a
n-12,n≥3,又a
n+a
n-1>0,
∴a
n-a
n-1=1,n≥3.(11分)又a
12=a
13且a
1≠0,
∴a
1=1.(a
2+1)
2=a
23+1且a
2>0,
∴a
2=2,即a
2-a
1=1.
∴n≥2時(shí)均有a
n-a
n-1=1.
∴數(shù)列{a
n}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.
故a
n=1+(n-1)×1=n.(13分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式,以及數(shù)列的函數(shù)特征,屬于新定義型題,解答此類題要求學(xué)生認(rèn)真審題,弄清題中的新定義,進(jìn)而利用等差數(shù)列的性質(zhì)、求和公式及遞推公式S
n-S
n-1=a
n進(jìn)行變形來解決問題.