Question

如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)，AF=3．

（I）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE;
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點(diǎn)P，使得AP⊥MN? 若存在，求出FP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在，

試題分析：（I）由面面垂直的性質(zhì)定理可直接證得。（Ⅱ）將轉(zhuǎn)化為的中點(diǎn)，利用中位線證∥，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證MN∥平面CDFE。（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)P使AP⊥MN，由（I）易得所以。（Ⅲ）由逆向思維可知只需證得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955207736.png" style="vertical-align:middle;" />，即可證得AP⊥MN。由相似三角形的相似比即可求得FP。
試題解析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955223519.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以。
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955223519.png" style="vertical-align:middle;" />, ,，所以.
（Ⅱ）連結(jié)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955114400.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，且為矩形，所以也是的中點(diǎn)。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955457351.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240329555041132.png" style="vertical-align:middle;" />,所以MN∥平面CDFE。
（Ⅲ）過點(diǎn)作交線段于點(diǎn),則點(diǎn)即為所求。因?yàn)锳BCD為正方形，所以∥。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955301718.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955644710.png" style="vertical-align:middle;" />,所以。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955535539.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955207736.png" style="vertical-align:middle;" />,所以。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955753532.png" style="vertical-align:middle;" />與相似，所以,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032955800467.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。