Question

f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n），其中a_i、β_i（i=1，2，…，n）均為常數(shù)，下列說法正確的有

（1）（2）（3）（4）

（1）若f(0)=0，  f(

π

2

)=0，則對于任意x∈R，f（x）=0恒成立；
（2）若f（0）=0，則f（x）是奇函數(shù)； 
（3）若f(

π

2

)=0，則f（x）是偶函數(shù)；
（4）若f2(0)+f2(

π

2

)≠0，且當(dāng)x₁≠x₂時(shí)f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）．

Answer 1

分析：根據(jù)和差角公式，類比推理可將函數(shù)f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n）的解析式化簡為f（x）=Msin（x+φ）的形式，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷四個(gè)答案，可得結(jié)論．

解答：解：∵f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n）=Msin（x+φ）
（1）中，若f（0）=Msinφ=0，f（

π

2

）=Mcosφ=0，則M=0，所以f（x）=0恒成立，故（1）正確；
（2）中，若f（0）=Msinφ=0，所以sinφ=0，所以f（x）=±Msinx，f（-x）=

.

+

Msinx，故f（-x）=-f（x），故f（x）奇函數(shù)，故（2）正確；
（3）中，若f（

π

2

）=Mcosφ=0，所以cosφ=0，所以f（x）=±Mcosx，f（-x）=

.

+

Mcosx，故f（-x）=f（x），故f（x）偶函數(shù)，故（3）正確；
（4）中，若f2(0)+f2(

π

2

)≠0，且當(dāng)x₁≠x₂時(shí)f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁，x₂相差半個(gè)周期的整數(shù)倍，由f（x）=Msin（x+φ）的周期為2π可得x₁-x₂=kπ（k∈Z），故（4）正確；
故答案為：（1）（2）（3）（4）

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的真假判斷與應(yīng)用，其中將已知中函數(shù)的解析式化為f（x）=Msin（x+φ）的形式，是解答的關(guān)鍵．