Question

（2012•荊州模擬）某市物價(jià)局調(diào)查了某種治療流感的常規(guī)藥品在2011年每個(gè)月的批發(fā)價(jià)格和該藥品在藥店的銷售價(jià)格，調(diào)查發(fā)現(xiàn)該藥品的批發(fā)價(jià)格按月份以每盒12元為中心價(jià)隨一正弦曲線f（x）=A₁sin（ω₁x+?₁）+b₁（A₁＞0，ω₁＞0，|?₁|＜π）上下波動(dòng)，且3月份的批發(fā)價(jià)格最高，為每盒14元，7月份的批發(fā)價(jià)格最低，為每盒10元；該藥品在藥店的銷售價(jià)格按月份以每盒14元為中心價(jià)隨另一正弦曲線g（x）=A₂sin（ω₂x+?₂）+b₂（A₂＞0，ω₂＞0，|?₂|＜π）上下波動(dòng)，且5月份的銷售價(jià)格最高，為每盒16元，9月份的銷售價(jià)格最低，為每盒12元．
（1）求該藥品每盒的批發(fā)價(jià)格f（x）和銷售價(jià)格g（x）關(guān)于月份x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）假設(shè)某藥店每月初都購(gòu)進(jìn)這種藥品c盒，且當(dāng)月售完，那么該藥店在2011年哪些月份是盈利的？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求解正弦曲線f（x）=A₁sin（ω₁x+?₁）+b₁、g（x）=A₂sin（ω₂x+?₂）+b₂，關(guān)鍵是根據(jù)最值確定A₁，A₂、b₁、b₂的值，根據(jù)周期確定ω₁、ω₂的值，再根據(jù)最高點(diǎn)確定出?₁、?₂的值；
（2）先構(gòu)建函數(shù)y=c[g(x)-f(x)]=2c(1-

2

sin

π

4

x)，根據(jù)y＞0，解不等式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由已知，b1=12，A1=

14-10

2

=2，又周期T₁=2（7-3）=8，則ω1=

π

4

，
從而f(x)=2sin(

π

4

x+?1)+12，
因?yàn)閒（3）=14，所以2sin(

3π

4

+?1)+12=14，
所以sin(

3π

4

+?1)=1
又|?₁|＜π，即取?1=-

π

4

，批發(fā)價(jià)格函數(shù)為f(x)=2sin(

π

4

x-

π

4

)+12…（4分）
同理，銷售價(jià)格函數(shù)為g(x)=2sin(

π

4

x-

3π

4

)+14…（6分）
（2）設(shè)該藥店第x月購(gòu)進(jìn)這種藥品c盒所獲利潤(rùn)為y元，則y=c[g(x)-f(x)]=2c(1-

2

sin

π

4

x)．
由y＞0得1-

2

sin

π

4

x＞0，即sin

π

4

＜

2

2

，
所以2kπ+

3π

4

＜

π

4

x＜2kπ+

9π

4

(k∈Z)，即8k+3＜x＜8k+9，k∈Z，
因?yàn)閤≤12且x∈N^*，則x的值為4，5，6，7，8，12…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)解析式的確定，考查利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，正確求出三角函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．