Question

如圖所示，有公共邊的兩正方形ABB₁A₁與BCC₁B₁的邊AB、BC均在平面α內(nèi)，且∠ABC=60°，M是BC的中點，點N在C₁C上．
（1）試確定點N的位置，使AB₁⊥MN．
（2）當AB₁⊥MN時，求二面角M-AB₁-N的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以B為坐標原點，分別以BC，BB₁為y，z軸，建立空間直角坐標系，設出正方形的邊長，由題意求出點A，B₁，M的坐標，設出N點坐標，利用向量

AB1

與

MN

的數(shù)量積為0可求出N點的坐標，得到N的位置．
（2）求出兩個平面MAB₁，AB₁N的一個法向量，由平面的法向量所成角的余弦值得到二面角M-AB₁-N的余弦值．

解答：解：（1）依題意得BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，而AB，BC均在α內(nèi)且相交，∴BB₁⊥平面α．
以B為坐標原點，分別以BC，BB₁為y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則B（0，0，0），
令正方形邊長為2，又∠ABC=60°，故得
A(

3

，1，0)，B₁（0，0，2），M（0，1，0），N（0，2，λ）（0≤λ≤2）．
則

AB1

=(-

3

，-1，2)， 

MN

=(0，1，λ)．
由AB₁⊥MN，得

AB1

•

MN

=(-

3

，-1，2)•(0，1，λ)=-1+2λ=0
∴λ=

1

2

=

1

4

CC1，
即點N的位置在線段C₁C的四等分點靠近C處．
（2）由（1）得，N(0，2，

1

2

)，

B1M

=(0，1，-2)，

B1N

=(0，2，-

3

2

)
設

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)分別為平面MAB₁，AB₁N的一個法向量．
由

n1 • AB1 =0 n1 • B1M =0

，即

- 3 x1-y1+2z1=0 y1-2z1=0

，
取z₁=1，得x₁=0，y₁=2，所以

n1

=(0，2，1)．
由

n2 • AB1 =0 n2 • B1N =0

，即

- 3 x2-y2+2z2=0 2y2- 3 2 z2=0

，
取z2=4

3

，得x2=5，y2=3

3

，所以

n2

=(5，3

3

，4

3

)．
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

6 3 +4 3

5 • 100

=

15

5

．
所以二面角M-AB₁-N的余弦值為

15

5

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了二面角的平面角的求法，利用空間向量求解二面角時，關鍵是明確二面角的平面角與所找的兩個平面法向量的關系，即相等還是互補．此題是中檔題．