【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,橢圓的極坐標方程為,其左焦點在直線上.
(1)若直線與橢圓交于兩點,求的值;
(2)求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)將參數(shù)方程化為直角坐標方程可得F的坐標為(,0),聯(lián)立直線的參數(shù)方程與橢圓方程,結合參數(shù)的幾何意義計算可得.
(2)結合橢圓方程,設橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點M的坐標為(,4sinθ)(),據(jù)此可得內(nèi)接矩形關于的面積函數(shù),結合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定面積S取得最大值.
(1)將代入ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,
得x2+3y2=48,即,
因為c2=48-16=32,所以F的坐標為(,0),
又因為F在直線l上,所以.
把直線l的參數(shù)方程代入x2+3y2=48,
化簡得t2-4t-8=0,所以t1+t2=4,t1t2=-8,
所以.
(2)由橢圓C的方程,可設橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點M的坐標為(,4sinθ)(),
所以內(nèi)接矩形的面積,
當時,面積S取得最大值.
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【題目】已知雙曲線的離心率為2,過點、斜率為1的直線與雙曲線交于、兩點且,.
(1)求雙曲線方程。
(2)設為雙曲線右支上動點,為雙曲線的右焦點,在軸負半軸上是否存在定點,使得?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由。
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【題目】如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個點
B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吃地溝油與患胃腸癌有關系時,我們就說如果某人吃地溝油,那么他有99%可能患胃腸癌
C.在殘差圖中,殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模型擬合的精度越高
D.將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,其方差也要加上或減去這個常數(shù)
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【題目】已知函數(shù)。
(1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)若函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若(2)中函數(shù)有兩個極值點,且不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在極坐標系中,曲線C1的極坐標方程是,在以極點為原點O,極軸為x軸正半軸(兩坐標系取相同的單位長度)的直角坐標系xOy中,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標方程與曲線C2的普通方程;
(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3,若M,N分別是曲線C1和曲線C3上的動點,求|MN|的最小值.
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【題目】2018年國際象棋奧林匹克團體賽中國男隊、女隊同時奪冠.國際象棋中騎士的移動規(guī)則是沿著3×2格或2×3格的對角移動.在歷史上,歐拉、泰勒、哈密爾頓等數(shù)學家研究了“騎士巡游”問題:在格的黑白相間的國際象棋棋盤上移動騎士,是否可以讓騎士從某方格內(nèi)出發(fā)不重復地走遍棋盤上的每一格?
圖(一)給出了騎士的一種走法,它從圖上標1的方格內(nèi)出發(fā),依次經(jīng)過標2,3,4,5,6,,到達標64的方格內(nèi),不重復地走遍棋盤上的每一格,又可從標64的方格內(nèi)直接走回到標1的方格內(nèi).如果騎士的出發(fā)點在左下角標50的方格內(nèi),按照上述走法,_____(填“能”或“不能”)走回到標50的方格內(nèi).
若騎士限制在圖(二)中的3×4=12格內(nèi)按規(guī)則移動,存在唯一一種給方格標數(shù)字的方式,使得騎士從左上角標1的方格內(nèi)出發(fā),依次不重復經(jīng)過2,3,4,5,6,,到達右下角標12的方格內(nèi),分析圖(二)中A處所標的數(shù)應為____.
35 | 38 | 27 | 16 | 29 | 42 | 55 | 18 |
26 | 15 | 36 | 39 | 54 | 17 | 30 | 43 |
37 | 34 | 13 | 28 | 41 | 32 | 19 | 56 |
14 | 25 | 40 | 33 | 20 | 53 | 44 | 31 |
63 | 12 | 21 | 52 | 1 | 8 | 57 | 46 |
24 | 51 | 64 | 9 | 60 | 45 | 2 | 5 |
11 | 62 | 49 | 22 | 7 | 4 | 47 | 58 |
50 | 23 | 10 | 61 | 48 | 59 | 6 | 3 |
圖(一)
1 | |||
A | |||
3 | 12 |
圖(二)
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