Question

【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．

Answer 1

【答案】(1) ．(2) ．

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得相關(guān)點的坐標(biāo)，求出直線A1B與AC1的方向向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出方向向量夾角，最后根據(jù)異面直線所成角與方向向量夾角之間相等或互補(bǔ)可得夾角的余弦值；（2）根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系，得相關(guān)點的坐標(biāo)，求出各半平面的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求出法向量的夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角之間關(guān)系確定二面角的正弦值．

試題解析：解：在平面ABCD內(nèi)，過點A作AEAD，交BC于點E.

因為AA1平面ABCD，

所以AA1AE，AA1AD.

如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz.

因為AB=AD=2，AA1=， .

則.

(1) ，

則.

因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.

(2)平面A1DA的一個法向量為.

設(shè)為平面BA1D的一個法向量，

又，

則即

不妨取x=3，則，

所以為平面BA1D的一個法向量，

從而,

設(shè)二面角B-A1D-A的大小為，則.

因為，所以.

因此二面角B-A1D-A的正弦值為.

點睛:利用法向量求解空間線面角、面面角的關(guān)鍵在于“四破”：①破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；③破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；④破“應(yīng)用公式關(guān)”．