設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)
(1)若f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立,求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,若f(x)≤m2-2am+2對(duì)所有x∈[-1,
2
-1],a∈[-1,1]
恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)由f(-1)=0,可得a-b+1=0即b=a+1,又對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立,可得
a>0
△=b2-4a≤0
恒成立,即(a-1)2≤0恒成立,從而可求出a,b的值;
(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,可得g(x)=x2+(2-k)x+1,由g(x)在x∈[-2,2]時(shí)是單調(diào)函數(shù),可得 [-2,2]?(-∞,
k-2
2
]或[-2,2]?[
k-2
2
,+∞)
,從而得出 2≤
k-2
2
k-2
2
≤-2
,解之即可得出k的取值范圍.
(3)f(x)≤m2-2am+2對(duì)所有x∈[-1,
2
-1],a∈[-1,1]
恒成立,等價(jià)于m2-2am≥0對(duì)所有a∈[-1,1]恒成立,從而構(gòu)造函數(shù)g(a)=m2-2am,故可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(-1)=0,
∴a-b+1=0即b=a+1,
又對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立
a>0
△=b2-4a≤0
恒成立,即(a-1)2≤0恒成立
∴a=1,b=2;
(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1
∴g(x)=x2+(2-k)x+1
∵g(x)在x∈[-2,2]時(shí)是單調(diào)函數(shù),
[-2,2]?(-∞,
k-2
2
]或[-2,2]?[
k-2
2
,+∞)

2≤
k-2
2
k-2
2
≤-2
,
即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-2]∪[6,+∞).
(3)f(x)≤m2-2am+2對(duì)所有x∈[-1,
2
-1],a∈[-1,1]
恒成立,
等價(jià)于m2-2am≥0對(duì)所有a∈[-1,1]恒成立,
構(gòu)造函數(shù)g(a)=m2-2am,∴
m2-2m≥0
m2+2m≥0
,∴m≥2或m≤-2
點(diǎn)評(píng):本題以二次函數(shù)為載體,考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,難度一般,關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.
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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(-1)=0,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)-x≥0,并且當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)≤(
x+12
)
2

(1)求f(1)的值;
(2)求證:a>0,c>0;
(3)當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-mx,m∈R是單調(diào)的,求m的取值范圍.

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0<x1<x2
1
a
,且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱,則有(  )
A、x0
x1
2
B、x0
x1
2
C、x0
x1
2
D、x0
x1
2

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn),求a2+b2的最小值.

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足:當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值1,且f(0)=
32

(1)求a、b、c的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n,使x∈[m,n]時(shí),函數(shù)的值域也是[m,n]?若存在,則求出這樣的實(shí)數(shù)m,n;若不存在,則說(shuō)明理由.

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設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,則有( 。

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