Question

空間四邊形ABCD的對(duì)棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD與BC的截面分別交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）E在AB的何處時(shí)截面EFGH的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）證明BC∥EF，EF∥HG．然后證明四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）設(shè)

AE

AB

=x，求出EH=（1-x）a．推出S_{四邊形EFGH}=EF•EH•sin60°=

3

8

a2．推出E為AB的中點(diǎn)時(shí)，截面EFGH的面積最大為

3

8

a2．

解答：證明：（1）∵BC∥平面EFGH，BC?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴BC∥EF，同理BC∥HC，
∴EF∥HG．
同理可證EH∥FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
解：（2）∵AD與BC成角為60°，
∴∠HEF=60°（或120°），設(shè)

AE

AB

=x，
∵

EF

BC

=

AE

AB

=x，BC=a，
∴EF=ax，由

EH

AD

=

BE

AB

=

1-x

1

，得EH=（1-x）a．
∴S_{四邊形EFGH}=EF•EH•sin60°
=ax•a（1-x）•

3

2

=

3

2

a2•x（1-x）≤

3

2

a2•(

x+1-x

2

)2=

3

8

a2．
當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即x=

1

2

時(shí)等號(hào)成立，即E為AB的中點(diǎn)時(shí)，截面EFGH的面積最大為

3

8

a2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何圖形的證明與判定，幾何體體積的求法，考查計(jì)算能力．