Question

某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量值落在（495，510]的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．圖1是甲流水線樣本的頻率分布直方圖，表1是乙流水線樣本頻數(shù)分布表．

產(chǎn)品重量（克）	頻數(shù)
（490，495）	6
（495，500）	8
（500，505）	14
（505，510）	8
（510，515）	4

表1：（乙流水線樣本頻數(shù)分布表）
（1）求從甲流水線上任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率；
（2）若以頻率作為概率，試估計從甲流水線上任取5件產(chǎn)品（看作有放回的抽樣），求其中合格品的件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望及其方差；
（3）從乙流水線樣本的不合格品中任意取2件，求其中超過合格品重量的件數(shù)Y的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）由圖1知，甲樣本中合格品的頻數(shù)，進(jìn)而可得頻率；（2）由題意可得X～B（5，0.9），由二項分布的期望方差可知；（3）可得Y的取值為0，1，2，由二項分布的公式可得P(Y=0)=

1

3

 ，   P(Y=1)=

8

15

 ， P(Y=2)=

2

15

，可得分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由圖1知，甲樣本中合格品數(shù)為（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，
故合格品的頻率為

36

40

=0.9…（2分）
（2）據(jù)此可估計從甲流水線上任取一件產(chǎn)品該產(chǎn)品為合格品的概率P=0.9，
則X～B（5，0.9），故EX=5×0.9=4.5，DX=5×0.9×（1-0.9）=0.45…（6分）
（3）由表1知乙流水線樣本中不合格品共10個，超過合格品重量的有4件；
則Y的取值為0，1，2；且P(Y=k)=

C k 4 • C 2-k 6

C 2 10

   (k=0，1，2)，
于是有：P(Y=0)=

1

3

 ，   P(Y=1)=

8

15

 ， P(Y=2)=

2

15

∴Y的分布列為

Y	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

…（11分）
故可得數(shù)學(xué)期望為：EY=0×

1

3

+1×

8

15

+2×

2

15

=

4

5

…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列及期望與方差，涉及分布直方圖的應(yīng)用，屬中檔題．