Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n=3a_n-1+4n-2（n≥2）
（1）若{a_n+xn+y}是等比數列，求實數x，y的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a_n+xn+y=3[a_n-1+x（n-1）+y]，（n≥2），由此能求出x=2，y=2．
（2）由{a_n+2n+2}的首項為5，公比為3的等比數列，能求出數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．

解答： 解：（1）由已知得a_n+xn+y=3[a_n-1+x（n-1）+y]，（n≥2）
∴a_n=3a_n-1+2xn-3x+2y，n≥2，
∵a_n=3a_n-1+4n-2（n≥2）
∴

2x=4 -3x+2y=-2

，
解得x=2，y=2．…（6分）
（2）∵x=2，y=2，
∴{a_n+2n+2}是首項為5，公比為3的等比數列，

∴an+2n+2=5•3n-1，an=5•3n-1-2n-2 Sn= 5 2 (3n-1)-n(n+3)= 5 2 3n-n(n+3)- 5 2 .

點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，考查數列的通項公式及前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．