如圖所示,已知直線的斜率為且過點(diǎn),拋物線, 直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求的最小值;
(2)求的取值范圍;
(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),問是否存在點(diǎn),使過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn),且以為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn), 若存在,求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為, 過作于,過作于,
(1)由拋物線定義知
(折線段大于垂線段),當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線取等號(hào).由題意知,即
的最小值是8………...4分
(2) ……...5分
(3)假設(shè)存在點(diǎn),設(shè)過點(diǎn)的直線方程為,
顯然,,設(shè),,由以為直徑的圓恰過坐標(biāo)
原點(diǎn)有………… ……………………...①……9分
把代人得由韋達(dá)定理 ………………….………………②
又 ….③
②代人③得 ……… .④
②④代人①得… …12分
動(dòng)直線方程為必過定點(diǎn)
當(dāng)不存在時(shí),直線交拋物線于,仍然有, 綜上:存在點(diǎn)滿足條件……………15分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省杭州市長(zhǎng)河高三市二測(cè)模考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分15分)
如圖所示,已知直線的斜率為且過點(diǎn),拋物線, 直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn), 是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求的最小值;
(2)求的取值范圍;
(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),問是否存在點(diǎn),使過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn),且以為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn), 若存在,求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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