Question

如圖所示，已知直線l的斜率為k且過點Q（-3，0），拋物線C：y²=16x，直線與拋物線l有兩個不同的交點，F(xiàn)是拋物線的焦點，點A（4，2）為拋物線內(nèi)一定點，點P為拋物線上一動點．
（1）求|PA|+|PF|的最小值；
（2）求k的取值范圍；
（3）若O為坐標原點，問是否存在點M，使過點M的動直線與拋物線交于B，C兩點，且以BC為直徑的圓恰過坐標原點，若存在，求出動點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線定義知|PF|=|PB|?|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點共線取等號．由題意知|PA|+|PF|的最小值是8．
（2）k2＜

4

3

?k∈(-

2 3

3

，0)∪(0，

2 3

3

)．
（3）假設(shè)存在點M，設(shè)過點M的直線方程為y=kx+b，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由以BC為直徑的圓恰過坐標原點有

OB

•

OC

=0，x₁x₂+y₁y₂=0，把y=kx+b代入y²=16x得k²x²+2（bk-8）x+b²=0，由韋達定理

x1+x2=- 2(bk-8) k2 x1x2= b2 k2

．又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+bk（x₁+x₂）+b²．由此知動直線方程為y=kx-16k=k（x-16）必過定點（16，0）．

解答：解：如圖，設(shè)拋物線的準線為l，過P作PB⊥l于B，過A作AC⊥l于C，
（1）由拋物線定義知|PF|=|PB|?|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|
（折線段大于垂線段），當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點共線取等號．
由題意知|AC|=8，即?|PA|+|PF|的最小值是8（4分）
（2）k2＜

4

3

?k∈(-

2 3

3

，0)∪(0，

2 3

3

)（5分）
（3）假設(shè)存在點M，設(shè)過點M的直線方程為y=kx+b，
顯然k≠0，b≠0，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由以BC為直徑的圓恰過坐標
原點有

OB

•

OC

=0?x₁x₂+y₁y₂=0①（9分）
把y=kx+b代入y²=16x得k²x²+2（bk-8）x+b²=0
由韋達定理

x1+x2=- 2(bk-8) k2 x1x2= b2 k2

．②
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+bk（x₁+x₂）+b²．③
②代入③得y1y2=

16b

k

．④
②④代入①得

16b

k

+

b2

k2

=0?b=-16k（12分）
?動直線方程為y=kx-16k=k（x-16）必過定點（16，0）
當(dāng)k_BC不存在時，直線x=16交拋物線于B（16，-16），C（16，16），仍然有

OB

•

OC

=0，
綜上：存在點M（16，0）滿足條件（15分）

點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．