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已知函數f(x)=sinx-
3
cosx+2，記函數f（x）的最小正周期為β，向量
a
=(2，cosα)，
b
=(1，tan(α+
β
2
))（0＜α＜
π
4
），且
a
•
b
=
7
3
．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[
2π
3
，
4π
3
]上的最值；
（Ⅱ）求
2cos2α-sin2(α+β)
cosα-sinα
的值．
（Ⅰ）根據題意，可得
f(x)=sinx-
3
cosx+2=2(sinxcos
π
3
-cosxsin
π
3
)+2=2sin(x-
π
3
)+2．
∵x∈[
2π
3
，
4π
3
]，可得x-
π
3
∈[
π
3
，π]，∴sin(x-
π
3
)∈[0，
π
2
]，
當x=
4π
3
時，f（x）的最小值是2；當x=
5π
6
時，f（x）的最大值是4．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin(x-
π
3
)+2的周期T=2π，∴β=2π，
由此可得
a
•
b
=2+cosα•tan(α+
β
2
)=2+cosαtan(α+π)=2+sinα=
7
3
，解之得sinα=
1
3
．
∴
2cos2α-sin2(α+β)
cosα-sinα
=
2cos2α-sin2(α+π)
cosα-sinα
=
2cos2α-sin2α
cosα-sinα
=
2cosα(cosα-sinα)
cosα-sinα
=2cosα，
∵0＜α＜
π
4
，可得cosα=
1-sin2α
=
2
2
3
，
∴
2cos2α-sin2(α+β)
cosα-sinα
=2cosα=
4
2
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設銳角三角形ABC的內角A、B、C的對邊分別為.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，c＝5，求b.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若α∈（0，π），且3cos2α=sin(
π
4
-α)，則sin2α的值為（　�。�
A．1或-
17
18
B．1C．
17
18
D．-
17
18

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

cos15°的值是（　　）
A．
1
4
．		B．
3
4
．		C．
6
-
2
4
．		D．
6
+
2
4
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

若向量
m
=（
3
sinωx，cosωx），
n
=（cosωx，-cosωx），已知函數f（x）=
m
•
n
（ω＞0）的周期為
π
2

（1）求ω的值、函數f（x）的單調遞增區(qū)間、函數f（x）的零點、函數f（x）的對稱軸方程；
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，求此時函數f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如果λ＞sinx+cosx對一切x∈R都成立，則實數λ的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則角A的大小為（ ）.
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知分別為的三個內角的對邊，，，
則面積的最大值為         .

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

是以為焦點的橢圓上一點，且，求證：橢圓的離心率為.
       

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