Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長是2，D是側棱CC₁的中點，直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為45°．
（Ⅰ）求此正三棱柱的側棱長；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的大��；
（Ⅲ）求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析：（1）由直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為45°，我們要求正三棱柱的側棱長，關鍵是要找出AD在側面BB₁C₁C上的射影，然后求出A點到側面BB₁C₁C的距離，分析易得△ABC中BC邊的中線AE，即為A點到側面BB₁C₁C的距離，求出AE后，我們易求出AD的長，解三角形ACD可求出CD的長，然后根據D為側棱CC₁的中點，進而可以求出三棱柱的側棱長；
（2）過E作EF⊥BD于F，連接AF后，我們結合（1）的結論可得EF即為AF在側面BB₁C₁C上的射影，由三垂線定理，我們易得∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，解三角形AEF后，即可求解；
（3）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，則平面AEF⊥平面ABD，且交線為AF，過E作EG⊥AF于G，則EG⊥平面ABD．EG的長為點E到平面ABD的距離．解三角形AEF可以求出EG的長，進而得到點C到平面ABD的距離．

解答：解：（Ⅰ）設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長為x．取BC中點E，連接AE．
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥側面BB₁C₁C，
且兩平面交線為BC，
∴AE⊥側面BB₁C₁C．
連接ED，則∠ADE為直線AD與側面BB₁C₁C所成的角．
∴∠ADE=45°．
在Rt△AED中，tan45°=

AE

ED

=

3

1+ x2 4

，解得x=2

2

．
∴此正三棱柱的側棱長為2

2

．
（Ⅱ）過E作EF⊥BD于F，連接AF．
∵AE⊥側面BB₁C₁C，∴EF是AF在平面BCD內的射影．
由三垂線定理，可知AF⊥BD．
∴∠AFE為二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，
sin∠EBF=

CD

BD

=

2

22+( 2 )2

=

3

3

，
∴EF=

3

3

．
又AE=

3

，
∴在Rt△AEF中，tan∠AFE=

AE

EF

=3．
故二面角A-BD-C的大小為arctan3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交線為AF，
過E作EG⊥AF于G，則EG⊥平面ABD．
∴EG的長為點E到平面ABD的距離．
在Rt△AEF中，EG=

AE×EF

AF

=

3 × 3 3

( 3 )2+( 3 3 )2

=

30

10

．
∵E為BC中點，∴點C到平面ABD的距離為2EG=

30

5

．

點評：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，通過解∠AFE所在的三角形求得∠AFE．其解題過程為：作∠AFE→證∠AFE是二面角的平面角→計算∠AFE，簡記為“作、證、算”．