分析:(1)先建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點的坐標(biāo),直接根據(jù)PC⊥AB對應(yīng)的數(shù)量積為0即可求出點P的位置;
(2)先根據(jù)條件求出點P的坐標(biāo),再求出兩個平面的法向量,代入向量的夾角計算公式即可求出結(jié)論;
(3)直接利用公式h=|
|•cos<
,>計算即可.
解答:解:以A為原點,AB為X軸,過點A且與AB垂直的直線為Y軸,AA
1為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ;
則B(a,0,0),A
1(0,0,a);C(
,
a,0),P(x,0,x);
(1)由
•=0⇒(x-
,-
a,z)•(a,0,0)=0,
即(x-
)•a=0,x=
,
所以:P為AB的中點;
即
=1時,PC⊥AB;
(2)當(dāng)
=時,即
=
,
得(x,0,z-a)=
(a-x,0,-z)
⇒
,
所以:P(
,0,
).
設(shè)平面PAC的一個法向量
=(b,c,d)
則
⇒
即
| (b,c,d)• (,0,)=0 | (b,c,d)•(,,0)=0 |
| |
⇒
;
取b=3,則c=-
,d=-2.
∴
=(3,-
,-2),
又平面ABC的一個法向量
=(0,0,1),
∴cos<
,>=
=
=-
.
∴二面角P-AC-B的大小180°-120°=60°.
(3)設(shè)C
1到平面PAC的距離為h,
則h=|
|•cos<
,>=
=
=
.
故C
1到平面PAC的距離為
.
點評:本題是對立體幾何知識的綜合考察,其中涉及到點到面的距離,二面角,線線垂直等知識,屬于綜合性很強的題目,要認(rèn)真分析.