Question

我校某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”來(lái)慶祝數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)的成功舉辦.其中、是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的兩條弦，且其焦點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，記，其中為銳角．

（1）求拋物線方程；
（2）當(dāng)“蝴蝶形圖案”的面積最小時(shí)求的大小.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查拋物線的定義和方程、向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.第一問(wèn)，根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)直接寫出拋物線方程；第二問(wèn)，設(shè)出，根據(jù)已知條件寫出A點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)A在拋物線上，所以將點(diǎn)A坐標(biāo)代入到拋物線方程中，利用整理出的方程求出，同理求出，，，利用這4個(gè)邊長(zhǎng)求“蝴蝶形圖案”的面積得出三角函數(shù)式，利用換元法求函數(shù)最值.
試題解析：（1）由拋物線焦點(diǎn)得，拋物線方程為.
（2）設(shè)，則點(diǎn)，
所以，，即.
解得，
同理：，，，
“蝴蝶形圖案”的面積，
令，，∴，
則，∴時(shí)，即，“蝴蝶形圖案”的面積為8.