Question

設(shè)x、y滿(mǎn)足約束條件

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)Z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，則

4

a

+

1

b

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，只需求出直線(xiàn)z=ax+by，過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)（4，6）時(shí)取得最大值，從而得到一個(gè)關(guān)于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線(xiàn)ax+by=z（a＞0，b＞0）過(guò)直線(xiàn)2x-y+2=0與直線(xiàn)8x-y-4=0的交點(diǎn)（1，4）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大8，
即a+4b=8，
則

4

a

+

1

b

=（

4

a

+

1

b

）

a+4b

8

=1+

2b

a

+

a

8b

≥2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．