在銳角△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足sin22B+sin2BsinB+cos2B=1.
(1)求∠B的值;
(2)若b=3,求a+c的最大值.
分析:(1)利用二倍角公式對(duì)sin
22B+sin2BsinB+cos2B=1進(jìn)行化簡(jiǎn),最后求得cosB,進(jìn)而求得B.
(2)根據(jù)余弦定理及B的值,求得a,b,c的關(guān)系式b
2=(a+c)
2-3ac,根據(jù)
(a+c)2-3ac≥(a+c)2-(a+c)2=()2,進(jìn)而求出(a+c)的最大值.
解答:解:(1)∵sin
22B+sin2BsinB+cos2B=1,
∴4sin
2Bcos
2B+2sin
2BcosB-2sin
2B=0,
即2sin
2B(2cosB-1)(cosB+1)=0.
又△ABC為銳角三角形,∴
2cosB-1=0,即∠B=;
(2)由(1)知
∠B=,
∴
cos=,
即b2=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-(a+c)2=()2∴(a+c)
2≤4b
2=36,可知a+c的最大值為6.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用.在求最值的問題上,對(duì)于二次函數(shù),常用配方法來求.