在銳角△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊依次為a、b、c.設(shè)
m
=(cosA,sinA),
n
=(cosA,-sinA),a=2
3
,且
m
n
=
1
2

(Ⅰ)若b=2
2
,求△ABC的面積;
(Ⅱ)求b+c的最大值.
分析:(Ⅰ)由題意可得
m
n
=cos2A=
1
2
,結(jié)合角的范圍可得A=
π
3
,由正弦定理和已知可得三角形外接圓的半徑R=2,進(jìn)而可得B=
π
4
,由兩角和的正弦公式可得sinC,代入面積公式S=
1
2
absinC計(jì)算可得;
(Ⅱ)由余弦定理和已知數(shù)據(jù)可得b2+c2-bc=12,由基本不等式可得(b+c)2=3bc+12≤3(
b+c
2
)2
+12,解關(guān)于b+c的不等式可得.
解答:解:(Ⅰ)由題意可得
m
n
=cos2A-sin2A=cos2A=
1
2
,
∵在銳角△ABC中,0<A<
π
2
,∴0<2A<π,∴2A=
3
,即A=
π
3

設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理可得a=2RsinA=2R
3
2
=2
3
,解得R=2
由b=2RsinB得sinB=
2
2
,又b<a,∴B=
π
4
,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
3
2
2
2
+
1
2
2
2
=
6
+
2
4

∴△ABC的面積為S=
1
2
absinC=
1
2
•2
3
•2
2
6
+
2
4
=3+
3

(Ⅱ)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=12,
∴(b+c)2=3bc+12≤3(
b+c
2
)2
+12,解不等式可得b+c≤4
3
,
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào),∴b+的最大值4
3
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積與正余弦定理的應(yīng)用,涉及基本不等式的應(yīng)用,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在銳角△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足sin22B+sin2BsinB+cos2B=1.
(1)求∠B的值;
(2)若b=3,求a+c的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在銳角△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acsinC=(a2+c2-b2)sinB,
(1)若∠C=
π
4
,求∠A的大小.
(2)若三角形為非等腰三角形,求
c
b
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sinx•sin(
π
2
+x)
-2sin2x+1(x∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若f(
x0
2
)=
2
3
,x0∈(-
π
4
,
π
4
)
,求cos2x0的值.
(Ⅲ)在銳角△ABC中,三條邊a,b,c對(duì)應(yīng)的內(nèi)角分別為A、B、C,若b=2,C=
12
,且滿足f(
A
2
-
π
8
)=
2
2
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•眉山一模)在銳角△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊依次為a,b,c,設(shè)
m
=(sin(
π
4
-A),1),
n
=(2sin(
π
4
+1),-1),a=2
3
,且
m
n
=-
3
2

(1)若b=2
2
,求△ABC的面積;
(2)求b+c的最大值.

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