【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)﹣ . (Ⅰ)若a=2,求f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)若f(x)≥0對(duì)x∈(﹣1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí), ,f(1)=ln2﹣1,, ,
∴k=f′(1)=0,
∴切線方程為y=ln2﹣1.
(Ⅱ) .
①當(dāng)a≤0時(shí),a﹣1≤﹣1,又x∈(﹣1,+∞),
∴x﹣(a﹣1)>0,∴f′(x)>0,∴f(x)在(﹣1,+∞)上為增函數(shù),
又∵f(0)=0,∴當(dāng)﹣1<x<0時(shí),f(x)<0,與題意不符.
②當(dāng)a>0,令f′(x)=0,得x=a﹣1>﹣1,
且﹣1<x<a﹣1時(shí),f′(x)<0,x>a﹣1時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)在x=a﹣1時(shí)有極小值,也是最小值,
∴f(x)min=f(a﹣1)=lna﹣a+1≥0,
記g(x)=lnx﹣x+1,則 ,
令g′(x)=0,得x=1,
當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0,
∴g(x)在x=1處有極大值就是最大值為g(1)=0,
∴l(xiāng)na﹣a+1最大值為0,
又lna﹣a+1≥0,故a=1,
即當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)f(x)≥0恒成立
【解析】(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí), , f(1)=ln2﹣1,k=f′(1)=0,由此能求出切線方程.(Ⅱ) ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)f(x)≥0恒成立.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y,使得等式x+a(y﹣2ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)列An(xn , 0),n∈N* , 其中x1=0,x2=1.A3是線段A1A2的中點(diǎn),A4是線段A2A3的中點(diǎn),…,An+2是線段AnAn+1的中點(diǎn),…設(shè)an=xn+1﹣xn . (Ⅰ)寫(xiě)出xn與xn﹣1、xn﹣2(n≥3)之間的關(guān)系式并計(jì)算a1 , a2 , a3;
(Ⅱ)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的定義域和值域均為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),且對(duì)任意的,總有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,a2= ,且an+1= (n≥2)
(1)求a3 , a4;
(2)猜想an的表達(dá)式,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,△SAD是正三角形,P,Q分別是棱SC,AB的中點(diǎn),且平面SAD⊥平面ABCD.
(1)求證:PQ∥平面SAD;
(2)求證:SQ⊥AC.
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