Question

【題目】某同學(xué)使用某品牌暖水瓶，其內(nèi)膽規(guī)格如圖所示．若水瓶內(nèi)膽壁厚不計，且內(nèi)膽如圖分為①②③④四個部分，它們分別為一個半球、一個大圓柱、一個圓臺和一個小圓柱體．若其中圓臺部分的體積為，且水瓶灌滿水后蓋上瓶塞時水溢出．記蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為，

（1）求；

（2）該同學(xué)發(fā)現(xiàn)：該品牌暖水瓶盛不同體積的熱水時，保溫效果不同．為了研究保溫效果最好時暖水瓶的盛水體積，做以下實驗：把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同體積的水，并記錄水瓶內(nèi)不同體積水在不同時刻的水溫，發(fā)現(xiàn)水溫（單位：℃）與時刻滿足線性回歸方程，通過計算得到下表：

倒出體積	0	30	60	90	120
擬合結(jié)果
倒出體積	150	180	210	…	450
擬合結(jié)果				…

注：表中倒出體積（單位：）是指從最大盛水量中倒出的那部分水的體積．其中：

令．對于數(shù)據(jù)，可求得回歸直線為，對于數(shù)據(jù)，可求得回歸直線為．

（ⅰ）指出的實際意義，并求出回歸直線的方程（參考數(shù)據(jù)：）；

（ⅱ）若與的交點橫坐標即為最佳倒出體積，請問保溫瓶約盛多少體積水時（盛水體積保留整數(shù)，且取3.14）保溫效果最佳？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（�。�的實際意義為倒出體積水時，暖水瓶內(nèi)水的降溫速率；回歸直線的方程為；（ⅱ）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，分析可得該暖水瓶的內(nèi)膽是由一個半球和一個大圓柱以及一個小圓柱組合而成，分別利用球的體積公式和柱體的體積公式求得相應(yīng)幾何體的體積，之后作和求得暖水瓶的最大盛水量，得到結(jié)果；

（2）（ⅰ）根據(jù)題意，可得的實際意義為倒出體積水時，暖水瓶內(nèi)水的降溫速率；利用公式求得回歸直線的方程為；

（ⅱ）聯(lián)立方程組得，即為最佳倒出體積約為，根據(jù)條件，求得結(jié)果.

（1）依題意得，半球的半徑為，

體積為，

大圓柱體積，

小圓柱體積，

所以蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為．

（2）（�。�的實際意義為倒出體積水時，暖水瓶內(nèi)水的降溫速率；

越小，降溫速率越小，保溫效果越好；越大，降溫速率越大，保溫效果越差．

因為，對于回歸直線，

因為，

，

所以，

，

所以回歸直線的方程為．

（ⅱ）聯(lián)立得，

所以保溫瓶最佳倒出體積約為，

保溫瓶盛水體積約為，

所以保溫瓶盛水體積約為時保溫效果最佳．