Question

經(jīng)過點（0，-1）作圓C：x²+y²-6x+7=0的切線，切點分別為A和B，點Q是圓C上一點，則△ABQ面積的最大值為

4(1+ 5 )

5

．

Answer 1

分析：先確定直線AB的方程，利用點到直線的距離公式，求出|AB|，△ABQ面積的最大值時，Q到AB的距離最大，此時CQ⊥AB
，確定Q到AB的最大距離，即可得到結(jié)論．

解答：解：圓C：x²+y²-6x+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+y²=2，
以（0，-1）與C連線為直徑的圓的方程為x²+y²-3x+y=0，兩圓方程相減，可得直線AB的方程為3x+y-7=0
圓心C到直線AB的距離為

|9-7|

10

=

2

10

，∴|AB|=2

2- 4 10

=

4 10

5

△ABQ面積的最大值時，Q到AB的距離最大，此時CQ⊥AB
∵點（0，-1）到直線AB的距離為

|-1-7|

10

=

8

10

，點（0，-1）與圓心的距離為

10

∴Q到AB的距離最大值為

10

+

2

-

8

10

=

1

5

10

+

2

∴△ABQ面積的最大值為

1

2

×

4 10

5

×(

1

5

10

+

2

)=

4(1+ 5 )

5

故答案為

4(1+ 5 )

5

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．