Question

（2012•唐山二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，長為

2

+1的線段的兩端點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上滑動，

CP

=

2

PD

．記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（I）求曲線E的方程；
（ II）經(jīng)過點(diǎn)（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，

OM

=

OA

+

OB

，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求cos＜

OA

，

OB

＞的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)C（m，0），D（0，n），P（x，y），利用

CP

=

2

PD

，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用|

CD

|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，由此可求曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用

OM

=

OA

+

OB

，點(diǎn)M坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂），設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入曲線E方程，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)M在曲線E上，可求k²=2，進(jìn)而可計(jì)算x₁x₂+y₁y₂，

x12+y12

×

x22+y22

的值，從而可求cos＜

OA

，

OB

＞的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），
∴

x-m=- 2 x y= 2 (n-y)

，∴

m=( 2 +1)x n= 2 +1 2 y

…（2分）
由|

CD

|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，
∴（

2

+1）²x²+

( 2 +1)2

2

y²=（

2

+1）²，
整理，得曲線E的方程為x²+

y2

2

=1．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OM

=

OA

+

OB

，知點(diǎn)M坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂）．
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入曲線E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，
則x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

．…（7分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
由點(diǎn)M在曲線E上，知（x₁+x₂）²+

(y1+y2)2

2

=1，
即( -

2k

k2+2

)2+

( 4 k2+2 )2

2

=1，解得k²=2．…（9分）
這時(shí)x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₂+x₂）+1=-

3

4

，

x12+y12

×

x22+y22

=4-2[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+（x₁x₂）²=

33

16

，
∴cos＜

OA

，

OB

＞=

x1x2+y1y2

x12+y12 × x22+y22

=

- 3 4

33 16

=-

33

11

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是確定動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．