Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x-2

3

sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，若f（C）=-1，若sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列，

CA

•（

AB

-

AC

）=18，求c的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先通過三角恒等變換，把函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）利用（1）的結(jié)論，先求出C的值，進(jìn)一步利用向量的數(shù)量積和余弦定理及等比中項求出結(jié)果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2cos²x-2

3

sinxcosx=cos2x-

3

sin2x+1
=2cos(2x+

π

3

)+1
∴T=

2π

2

=π．
令：2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）．
解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）由于f（x）=2cos(2x+

π

3

)+1
所以：f（C）=2cos(2C+

π

3

)+1=-1
解得：cos(2C+

π

3

)=-1，
由于：0＜C＜π，
所以：

π

3

＜2C+

π

3

＜

7π

3

，
解得：C=

π

3

．
由于：sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列
所以：c²=ab
又

CA

•（

AB

-

AC

）=18
利用向量的數(shù)量積：b²-bccosA=18
整理得：a²+b²-c²=36
所以：ab=36
進(jìn)一步求得：c=6

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間，向量的數(shù)量積，余弦定理的應(yīng)用，等比數(shù)列的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．