Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A.y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱(chēng)
B.y=f（x）的圖象關(guān)于x= 對(duì)稱(chēng)
C.f（x）的最大值為
D.f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：
A、因?yàn)閒（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱(chēng)，A正確；
B、因?yàn)閒（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的圖象關(guān)于x= 對(duì)稱(chēng)，故B正確；
C、f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，則y=2t﹣2t3 ， t∈[﹣1，1]，則y′=2﹣6t2 ， 令y′＞0解得 ，故y=2t﹣2t3 ， 在[ ]上增，在[ ]與[ ]上減，又y（﹣1）=0，y（ ）= ，故函數(shù)的最大值為 ，故C錯(cuò)誤；
D、因?yàn)閒（﹣x）+f（x）=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函數(shù)，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函數(shù)的周期，所以函數(shù)即是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，故D正確．
由于該題選擇錯(cuò)誤的，故選：C．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)和二倍角的正弦公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值；二倍角的正弦公式：．