【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,第一象限內(nèi)有定點(diǎn)和射線,已知,的傾斜角分別為,,,, 軸上的動(dòng)點(diǎn)與,共線.
(1)求點(diǎn)坐標(biāo)(用表示);
(2)求面積關(guān)于的表達(dá)式;
(3)求面積的最小時(shí)直線的方程.
【答案】(1);(2);(3)見解析
【解析】
(1)由題易知,可得C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由題易知直線, 設(shè),共線,即斜率相等,可得,再利用面積公式求得結(jié)果;
(3)由(2)易知,將分母看做關(guān)于的二次函數(shù),求最值即可得出結(jié)果.
(1) ,又
(2)直線,設(shè)共線,∴
解得:,∴
(3)法一、
記
(ⅰ)若即,函數(shù)在上遞減,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)
取得最小值,此時(shí),直線的方程為:
(ⅱ)若即,函數(shù)在上遞增,上遞減,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值,此時(shí),直線的方程為:
法二、記,
以下用單調(diào)性的定義證明“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性(略)
(ⅰ)若,,在上遞減,當(dāng)且僅當(dāng)
即時(shí)取得最小值,此時(shí),直線的方程為:
(ⅱ)若,,在上遞減, 在上遞增,
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值,此時(shí),直線的方程為: (法二中“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性未證明的不扣分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起,人們的購物方式更具多樣化.某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取8名購物者進(jìn)行采訪,4名男性購物者中有3名傾向于網(wǎng)購,1名傾向于選擇實(shí)體店,4名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購,2名傾向于選擇實(shí)體店.
(1)若從8名購物者中隨機(jī)抽取2名,其中男女各一名,求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率:
(2)若從這8名購物者中隨機(jī)抽取3名,設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想:任給一個(gè)正整數(shù)n,如果n是偶數(shù),就將它減半(即);如果n是奇數(shù),則將它乘3加1(即3n+1),不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到1. 對(duì)于科拉茨猜想,目前誰也不能證明,也不能否定,現(xiàn)在請你研究:如果對(duì)正整數(shù)n(首項(xiàng))按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為1(注:l可以多次出現(xiàn)),則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為
A. 4 B. 6 C. 8 D. 32
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與x軸的正半軸重合.直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為:ρ=4cosθ.
(Ⅰ)寫出C的直角坐標(biāo)方程,并指出C是什么曲線;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn),求|PQ|值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=logm(m>0且m≠1),
(I)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(II)若m=,判斷f(x)在(3,+∞)的單調(diào)性(不用證明);
(III)若0<m<1,是否存在β>α>0,使f(x)在[α,β]的值域?yàn)?/span>[logmm(β-1),logm(α-1)]?若存在,求出此時(shí)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)對(duì)任意,都有.
(1)若函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為且,求的解析式;
(2)函數(shù)的最小值記為,求函數(shù)在上的值域.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC=2AB=2,且BC1⊥A1C.
(Ⅰ)求證:平面ABC1⊥平面A1C1CA;
(Ⅱ)設(shè)D是A1C1的中點(diǎn),判斷并證明在線段BB1上是否存在點(diǎn)E,使DE∥平面ABC1;若存在,求三棱錐E﹣ABC1的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1 , 其中a2≠0.
(Ⅰ)求證數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列;
(Ⅱ)當(dāng)a2=2時(shí),是否存在等差數(shù)列{bn},使得a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求出bn;若不存在,說明理由.
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【題目】已知雙曲線E:﹣=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=﹣2x.
(1)求雙曲線E的離心率;
(2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l分別交直線l1 , l2于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、第四象限),且△OAB的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程,若不存在,說明理由.
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