Question

已知函數(shù)和

（1）若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）當時，不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）求出的導數(shù)，因為 的導函數(shù)是二次函數(shù)，二次項系數(shù)為3k，故需要分類討論其單調(diào)性，求出不同情況下的單調(diào)區(qū)間，讓一個單調(diào)區(qū)間的分界點落在區(qū)間（1,2），列出關于k的不等式組，即可解出k的取值范圍；(2)要使當時，不等式，即恒成立，構造函數(shù)=，轉(zhuǎn)化為求使≥0對x≥0恒成立問題,利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求出是≥0恒成立在x≥0上恒成立時，k的取值范圍.

試題解析：（1） 1分

①當時，，所以在單調(diào)遞減，不滿足題意； 2分

②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，所以，解得 4分

綜上的取值范圍是. 5分

（2）令

依題可知在上恒成立 6分

，令=，

有且 7分

①當即時，

因為，所以

所以函數(shù)即在上單調(diào)遞增，又由

故當時，，所以在上單調(diào)遞增

又因為，所以在上恒成立，滿足題意； 10分

②當即時，

當，，函數(shù)即單調(diào)遞減，

又由，所以當，

所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以時，

這與題意在上恒成立相矛盾，故舍. 13分

綜上，即的最大值是. 14分

考點: 常見函數(shù)的導數(shù)；導數(shù)的運算法則；函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系；不等式恒成立問題；運算求解能力；轉(zhuǎn)化思想