已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為曲線C,且動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)的距離|
PF1
|,|
PF2
|
的等差中項(xiàng)為
2

(1)求曲線C的方程;
(2)直線l過圓x2+y2+4y=0的圓心Q與曲線C交于M,N兩點(diǎn),且
ON
OM
=0(O
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)A(1,
1
2
)
,點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn),求|
PA
|+
2
|
PF2
|
的最小值,并求取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:(1)利用已知條件推斷出|
PF1
|+|
PF2
|
的值,進(jìn)而求得橢圓方程中的長(zhǎng)軸長(zhǎng),則a可求,利用定點(diǎn)坐標(biāo)求得焦距,則b可求得,最后求得橢圓的方程.
(2)設(shè)出M,N的坐標(biāo),利用
ON
OM
=0(O
判斷出x1x2+y1y2=0設(shè)出直線l的方程代入橢圓的方程消去y,利用韋達(dá)定理表示出x1x2和x1+x2利用直線方程求得y1y2,代入x1x2+y1y2=0求得k,則直線l的方程可得.
(3)先利用橢圓的第二定義表示出到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離求得點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離與|
PF2
|
的關(guān)系式,進(jìn)而推斷出此時(shí)|
PA
|+d
的最小值為點(diǎn)A到右準(zhǔn)線x=2的距離,則點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小距離可求得.
解答:解:(1)據(jù)已知|
PF1
|+|
PF2
|=2
2
,
所求曲線C是橢圓,長(zhǎng)軸2a=2
2
,a=
2
,c=1,
所以橢圓的方程為
x2
2
+y2=1

(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
ON
OM
=0?x1x2+y1y2=0
,
設(shè)l:y=kx-2,
y1=kx1-2,y2=kx2-2,y1y2=k2x1•x2-2k(x1+x2)+4,
(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0(*).
聯(lián)立
x2
2
+y2=1
,得x2+2(kx-2)2=2,
x1,x2為上述方程的兩根,
x1x2=
6
1+2k2
,x1+x2=
8k
1+2k2

代入(*)得k2=5?k=±
5

所求直線l為:
5
x-y-2=0或
5
x+y+2=0

(3)橢圓的右準(zhǔn)線為x=2,設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d,
|
PF2
|
d
=
2
2
?d=
2
|
PF2
|
|
PA
|+
2
|
PF2
|=|
PA
|+d
,
此時(shí)|
PA
|+d
的最小值為點(diǎn)A到右準(zhǔn)線x=2的距離,(|
PA
|+d)min=1
,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
6
2
1
2
)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓與直線的關(guān)系.考查了考生分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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