精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
對于函數f(x)，若存在xo∈R，使f(xo)＝xo成立，則xo為f(x)的不動點．已知函數f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．

(1)當a＝1，b＝－2時，求函數f(x)的不動點；

(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求 a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B兩點關于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．

 

答案：
提示：

命題意圖：本題主要考查二次函數及其圖象、一元二次方程和直線方程以及不等式的綜合應用，考查學生的自學能力和邏輯思維能力．

解題思路：扣住“不動點”的定義，建立相應的方程求解．

(1)當a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－x－3．

由題意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3．

故當a＝1，b＝－2時，f(x)的兩個不動點為－1，3．

(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有兩個不動點，

cx＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)，

即ax2＋bx＋(b－1)＝0恒有兩個相異的實數根，得

△＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．

于是△’＝(4a)2－16a<0．解得0<a<1．

故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，a的取值范圍是0<a<1．

(3)由題意，A、B兩點應在直線y＝x上，設A(x1，y1)、B(x2，y2)．

∵點A、B關于直線y＝kx＋對稱，∴k＝－1．

設AB的中點為M(x’，y’)．

∵x1、x2是方程ax2＋bx＋b－1＝0的兩個根，

于是，由M在直線y＝－x＋上，得－

即b＝－＝a>0,∴2a＋當且僅當2a＝，即a＝∈(0，1)時取等號．

故b≥－,得b的最小值為－．

評點：本題借助不變量思想，以不動點作為栽體命題，蘊含著“及時定義，及時解答”的試題結構特征，新穎而富于思考．將圖象問題轉化為代數問題來研究，充分體現了數形結合的思想方法．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（08年黃岡中學一模理） (本小題滿分14分)對于函數f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動點. 如果函數有且僅有兩個不動點0，2，且

（1）試求函數f(x)的單調區(qū)間；

（2）已知各項不為零且不為1的數列{an}滿足，求證：；

（3）設，為數列{bn}的前n項和，求證：

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

       對于函數f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點  已知函數f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點；

（2）若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B關于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．如果函數

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關于直線x＝m對稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數學試卷（解析版） 題型：填空題

對于函數f(x)，若在其定義域內存在兩個實數a，b(a＜b)，使當x∈[a，b]時，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數f(x)為“布林函數”，區(qū)間[a，b]稱為函數f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數的等域區(qū)間是         .

（2）若函數是布林函數，則實數k的取值范圍是           .

 

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2014屆湖南省華容縣高一第一學期期末考試數學試卷 題型：解答題

(本小題滿分6分）對于函數f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(x0，x0)為函數的不動點，已知函數f(x)＝ax2＋bx-b有不動點(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案